Lycheetan: materi matematika wajib

Showing posts with label materi matematika wajib. Show all posts

Komposisi Fungsi

Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi yaitu penggabungan operasi pada dua jenis fungsi f (x) dan g (x) hingga menghasilkan fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa yaitu dilambangkan dengan “o” dan dibaca dengan komposisi atau bundaran.

Fungsi baru yang bisa terbentuk dari f (x) dan g (x) yaitu:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g

Fungsi tunggal itu merupakan fungsi yang bisa dilambangkan dengan huruf “f o g” ataupun juga bisa dibaca dengan “fungsi f bundaran g”. Fungsi “f o g” ialah fungsi g yang dikerjakan terlebih dahulu lalu dilanjutkan dengan f. Sedangkan, untuk fungsi “g o f” dibaca dengan fungsi g bundaran f. Maka, “g o f” ialah fungsi dengan f dikerjakan terlebih dahulu daripada g.

Rumus Fungsi Komposisi

Dari rumus tersebut, definisi yang di dapat ialah :

Jika f : A → B ditentukan rumus y = f (x)
Jika g : B → C ditentukan rumus y = g (x)

Jadi, hasil fungsi g dan f :

h (x) = (g o f)(x) = g( f(x))
Dari penjelasan tersebut bisa disimpulkan bahwa fungsi yang melibatkan fungsi f dan g bisa ditulis :
(g o f)(x) = g (f(x))
(f o g)(x) = f (g(x))

Contoh Soal

Contoh Soal 1

Diberikan dua buah fungsi yang masing-masing f (x) dan g (x) berturut-turut yaitu :
f (x) = 3x + 2
g (x) = 2 − x

Tentukanlah:
a) (f o g) (x)
b) (g o f) (x)

Jawaban
Data:
f (x) = 3x + 2
g (x) = 2 − x

a) (f o g)(x)

“Masukkanlah g (x) nya kef (x)”

hingga menjadi:
(f o g)(x) = f ( g(x) )
= f (2 − x)
= 3 (2 − x) + 2
= 6 − 3x + 2
= − 3x + 8

b) (g o f ) (x)

“Masukkanlah f (x) nya ke g (x)”

Hingga menjadi :
(f o g) (x) = g (f (x) )
= g ( 3x + 2)
= 2 − ( 3x + 2)
= 2 − 3x − 2
= − 3x

Contoh Soal 2

Diketahui fungsi f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3. Nilai dari komposisi fungsi ( g o f )(1) =….?
A. 12
B. 8
C. 7
D. 11
E. 9

Jawaban
Diketahui:
f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3
( g o f )(1) =…?

Masukkanlah f (x) nya pada g (x) lalu isi dengan 1
(g o f) (x) = 2 (3 x − 1) 2 + 3
(g o f) (x) = 2 (9 x 2 − 6x + 1) + 3
(g o f) (x) = 18x 2 − 12x + 2 + 3
(g o f) (x) = 18×2 − 12x + 5
(g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

Contoh Soal 3

Diberi dua buah fungsi:
f (x) = 2x − 3
g (x) = x2 + 2x + 3

Jika (f o g)(a) adalah 33, tentukanlah nilai dari 5a

Jawaban:
Cari terlebih dahulu (f o g)(x)
(f o g)(x) sama dengan 2(x2 + 2x + 3) − 3
(f o g)(x) sama dengan 2×2 4x + 6 − 3
(f o g)(x) sama dengan 2×2 4x + 3

33 sama dengan 2a2 4a + 3
2a2 4a − 30 sama dengan 0
a2 + 2a − 15 sama dengan 0

Faktorkan:
(a + 5)(a − 3) sama dengan 0
a = − 5 ataupun a sama dengan 3
Hingga
5a = 5(−5) = −25 atau 5a = 5(3) = 15

Contoh Soal 4

Jika (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3)?

Jawaban:
(f o g)(x) sama dengan x² + 3x + 4
f (g(x)) sama dengan x² + 3x + 4
g(x) sama dengan 3 Jadi,
4x – 5 sama dengan 3
4x sama dengan 8
x sama dengan 2
f (g(x)) = x² + 3x + 4 dan untuk g(x) sama dengan 3 didapat x sama dengan 2
Hingga : f (3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

Relasi dan Fungsi

Secara sederhana, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Hubungan yang dimaksud di sini adalah hubungan antara daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain). Kedua jenis daerah akan dijelaskan kemudian. Sedangkan fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal tepat satu ke himpunan daerah kawannya. Perbedaan antara relasi dan fungsi terletak pada cara memasangkan anggota himpunan ke daerah asalnya.

Pada relasi, tidak ada aturan khusus untuk memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah kawan. Aturan hanya terikat atas pernyataan relasi tersebut. Setiap anggota himpunan daerah asal boleh mempunyai pasangan lebih dari satu atau boleh juga tidak memiliki pasangan. Sedangkan pada fungsi, setiap anggota himpunan daerah asal dipasangkan dengan aturan khusus. Aturan tersebut mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya.

Kesimpulannya, setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi. Penjelasan mengenai relasi dan fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah.

Selanjutnya, mari simak pembahasan lebih lanjut mengenai relasi dan fungsi pada pembahasan di bawah.

Daerah Asal, Kawan, dan Hasil

Dalam pembahasan relasi dan fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah. Ketiga daerah tersebut adalah daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range). Secara umum, himpunan ketiga daerah tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.

Relasi

Seperti yang telah dijelaskan secara singkat di atas, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Misalkan sebuah relasi menyatakan hubungan perkalian. Hasil relasi tersebut dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut x dan y dan dapat juga digambar pada bidang kartesius.

Cara menyatakan hasil relasi perkalian antara himpunan A dan B dapat dilihat pada contoh permasalahan di bawah.

$A \; = \; \left \{ 1, \; 2, \; 3, \right \}$

$B \; = \; \left \{ 2, 3 \right \}$

Pembahasan selanjutnya adalah mengenai fungsi, simak dengan baik sammpai akhir ya!

Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau yang sering disebut juga dengan pemetaan masih termasuk dalam relasi. Suatu relasi disebut fungsi jika semua anggota himpunan daerah asal dipasangkan tepat satu ke daerah kawannya.

Simbol fungsi yang memetakan himpunan A ke B adalah

$f: \; A \rightarrow B$

Contoh pemasalahan pada fungsi:

Diketahui himpunan A dan B diberikan seperti di bawah.

$A = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4 \right \}$

$B = \left \{ 0, 1, 2, ..., 10 \right \}$

Didefinisikan fungsi $f: A \rightarrow B$ dengan f(x) = x + 5.

Tentukan hasil pemetaan dari $x \in A$ oleh fungsi $f$ , $D_{f}$ , $K_{f}$ , dan $R_{f}$ !

Pembahasan:

Peta dari $x \in A$ oleh fungsi f yaitu y = f(x):

$f(0) = 0 + 5 = 5$

$f(1) = 1 + 5 = 6$

$f(2) = 2 + 5 = 7$

$f(3) = 3 + 5 = 8$

$f(4) = 4 + 5 = 9$

$D_{f}$ = Daerah Asal

$D_{f} = A = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4 \right \}$

$K_{f}$ = Daerah Kawan

$K_{f} = B = \left \{ 0, 1, 2, ..., 10 \right \}$

Daerah Hasil = $R_{f}$

$D_{f} = A = \left \{5, 6, 7, 8, 9 \right \}$

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi dikelompokkan menjadi 3 (tiga) jenis yaitu fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif. Pengelompokkan tersebut didasarkan pada sifatnya. Perbedaan ketiga jenis tersebut dapat disimak pada penjelasan di bawah.

Fungsi Injektif/Fungsi Into (Fungsi Satu-satu)
Fungsi pertama yang akan dibahas adalah fungsi injektif atau sering disebut dengan fungsi into atau fungsi satu-satu. Fungsi $f: A \rightarrow B$ dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.

Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang terpsangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu.

Perhatikan gambar di bawah untuk melihat lebih detail mengenai perbedaannya.

Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
Fungsi Surjekti atau onto memiliki ciri yaitu anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama atau lebih banyak dari anggota domain.

Perhatikan gambar di bawah untuk menambah pemahan sobat idschool tentang sifat fungsi surjektif.

Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Fungsi Bijektif merupakan gabungan dari fungsi injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu. Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti fungsi/pemetaan, namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi/pemetaan. Perhatikan gambar di bawah.

Terlihat bahwa kebalikan dari fungsi f juga merupakan fungsi atau pemetaan, bukan?

Sekian pembahasan mengenai relasi dan fungsi, serta perbedaan dan contoh soal. Jika ada bagian yang kurang paham bisa tinggalkan pada kolom komentar di bawah. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat.

Trigonometri

Pengertian Trigonometri

Trigonometri atau kalau dilihat dari bahasa Yunani yaitu trigonon = “tiga sudut” dan metron = “mengukur” ialah sebuah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Dimana trigonometri ini muncul pada abad ke-3 SM (Sebelum Masehi) di masa hellenistik guna mempelajari tentang astronomi

Lalu konsep dasar trigonometri matematika ialah konsep kesebangunan segitiga siku – siku dan sisi – sisi yang bersesuaian pada dua bangun datang sebangun yg mempunyai perbandingan yang sama. Pada konsep geometri euclid sendiri masing – masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua Segitiga tersebut pasti sebangun dan konsep ini merupakan dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip, didalam konsep trigonometri matematika konsep tersebut telah dikembangkan lagi untuk sudut – sudut non lancip atau sudut yang lebih dari 90 derajat dan kurang dari NOL derajat. Konsep dasar trigonometri ini juga berhubungan dengan tabel sin cos tan yang telah di bahas sebelumnya.

Rumus Trigonometri

Sedangkan rumus trigonometri matematika ini sangat – sangat penting sekali, khususnya untuk para pelajar siswa dan siswi tingkat SMA (Sekolah Menengah Atas) di Indonesia karena trigonometri ini sering muncul di soal – soal Ujian baik itu didalam UAS (Ujian Akhir Sekolah) maupun didalam UN (Ujian Nasional) tingkat SMA di seluruh Indonesia sehingga kalian sebagai Siswa Siswi diharapkan dapat memahami tentang rumus dasar trigonometri matematika ini agar anda bisa mengerjakan soal – soal tentang trigonometri yang ada didalam UAS dan UN tersebut.

Kemudian di dalam trigonometri matematika mempunyai tiga fungsi yang pertama ialah sinus yang merupakan perbandingan sisi segitiga (segitiga siku – siku atau salah satu sudut segitiga itu 90°) yang ada di depan sudut dengan sisi miring, lalu fungsi trigonometri kedua ialah kosinus atau cosinus yang merupakan perbandingan sisi segitiga yang terletak disudut dengan sisi miring dan fungsi dasar trigonometri matematika yang ketiga ialah tangen yang merupakan perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak disudut.

Rumus Fungsi Trigonometri Matematika

Rumus Identitas Trigonometri Matematika

rumus-jumlah-dan-selisih-sudut-trigonometri

Rumus Perkalian Trigonometri Matematika

Rumus Jumlah dan Selisih Trigonometri

rumus-sudut-rangkap-dua-dan-rangkap-tiga-trigonometri

Rumus Setengah Sudut Trigonometri

Contoh Soal Trigonometri

1. Tentukan lah nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Pembahasan :

Dari soal diatas dapat disimpulkan bahwa jenis soal diatas merupakan contoh soal perkalian trigonometri maka kita bisa melihat rumus trigonometri perkalian cos pada uraian diatas yaitu rumusnya adalah 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)

Jawaban :

nilai 2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

Maka nilai dari 2 cos 75° cos 15° yaitu ½

2. Tentukan lah nilai dari sin 105° + sin 15°

Pembahasan :

Dari soal diatas dapat disimpulkan bahwa jenis soal diatas merupakan contoh soal penjumlahan trigonometri maka kita bisa melihat rumus trigonometri penjumlahan sin pada uraian diatas yaitu rumusnya adalah 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Jawaban :

nilai sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

Maka nilai dari sin 105° + sin 15° adalah sin 60° cos 45°

Mungkin hanya seperti itu saja pembahasan tentang rumus trigonometri matematika yang telah kami ulas dan tulis secara lebih lengkap, semoga saja apa yang sudah kami tulis tentang rumus dasar trigonometri matematika tersebut bisa dipahami dengan mudah oleh kalian dan semoga saja berguna bagi kalian sebagai seorang pelajar di tingkat sekolah menengah atas (SMA), lalu sebagai tambahan saja bahwa referensi kami dalam menulis ini diambil dari buku pelajar matematika tingkat sma sehingga sudah bisa dipercaya kebenaran rumusnya.

Featured

Pengertian Fungsi Komposisi

Rumus Fungsi Komposisi

Contoh Soal

Daerah Asal, Kawan, dan Hasil

Relasi

Fungsi atau Pemetaan

Sifat-sifat Fungsi

Trigonometri

Pengertian Trigonometri