Vektor di R3

May 13, 2019 No Comment
Vektor di R3
Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam R^3 dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik A(x_1,y_1,z_1) dan titik B(x_2,y_2,z_2) maka jarak AB adalah:
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 b+ (z_2 - z_1)^2}
Atau jika \bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right), maka
\mid\bar{v}\mid = \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2}
Vektor \bar{AB} dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom \bar{AB} = \left(\begin{array}{r} b_1 - a_1\\ b_2 - a_2\\ b_3 - a_3\end{array}\right) atau dalam baris  \bar{AB} = (b_1 - a_1,b_2 - a_2,b_3 - a_3). Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis \bar{l}(1,0,0) dan \bar{J}(0,1,0) dan \bar{K}(0,0,1) berikut:
\bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) + v_3\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)
\bar{v} = v_1\bar{I} + v_2\bar{J} + v_3\bar{K}
vektor di R3

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di R^3 secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di R^2 dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3 sama dengan vektor di R^2 yaitu:
\bar{a} + \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)
Dan
\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end{array}\right)

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika \bar{v} adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\\ k.v_3\end{array}\right)

Hasil kali skalar dua vektor

Selain rumus di R^3, ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika \bar{a} = a\bar{I} + a_2\bar{J} + a_3\bar{K} dan \bar{b} = b_1\bar{i} + b_2\bar{j} + b_3\bar{k} maka \bar{a}.\bar{b} adalah:
\bar{a}.\bar{b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)

Proyeksi Orthogonal vektor

Jika vektor \bar{a} diproyeksikan ke vektor bar{b} dan diberi nama \bar{c} seperti gambar dibawah:
proyeksi orthogonal vektor
Diketahui:
\bar{a}.\bar{b} = \mid\bar{a}\mid \mid \bar{b} \mid cos\theta \overset{maka}{\rightarrow} cos\theta = \frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{a}\mid\mid\bar{b}\mid}
Sehingga:
\mid\bar{c}\mid = \mid\bar{a}\mid\mid cos\theta\mid atau \mid\bar{c}\mid = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{b}\mid}\mid
Untuk mendapat vektornya:
\bar{c} = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid \bar{b} \mid} \mid \bar{b}

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.
Pembahasan 1:
Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor \bar{AB} dan vektor \bar{AC} bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan
  • m.\bar{AB} = \bar{AC}
Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:
  • \bar{AB} + \bar{BC} = \bar{AC}
sehingga:
\bar{AB} = \left(\begin{array}{r} 6-2\\ 6-4\\ 2-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right)
\bar{AC} = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -6-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array}\right)
Maka kelipatan m dalam persamaan:
m.\bar{AB} = \bar{AC}
m.\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array} \right)
-4.m = (-12) \rightarrow m = 3
Diperoleh:
  • 2.m = (q - 4) \rightarrow 6 = (q - 4)
    q = 10
  • 4.m = (p - 2) \rightarrow 12 (p - 2)
    p = 14
disimpulkan:
p+q=10+14=24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.
contoh soal vektor dan pembahasannya
Pembahasan 2:
Dari gambar dapat diketahui bahwa:
  • \bar{AB} + \bar{a} = \bar{b} sehingga \bar{AB} = \bar{b} - \bar{a}
  • \bar{AC} = \frac{m}{m+n}\bar{AB} = \frac{m}{m+n}(\bar{b} - \bar{a})
Sehingga:
\bar{c} = \bar{AC} + \bar{a}
= \frac{m}{m+n} (\bar{b} - \bar{a}) + \bar{a} = \frac{m}{m+n}(\bar{b}) - \frac{m}{m+n}(\bar{a}) + \frac{m+n}{m+n}(\bar{a})
= \frac{m}{m+n}(\bar{b})+\frac{n}{m+n}(\bar{a})

Contoh Soal 3

Misalkan vektor \bar{a} = 4\bar{i} + y\bar{j} dan vektor \bar{b}=2\bar{i} + 2\bar{j} + \bar{k}. Jika panjang proyeksi vektor a ̅\bar{a} pada \bar{b} adalah 4. Maka tentukan nilai y.
Pembahasan 3:
Diketahui:
  • \mid\bar{b}\mid = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{9} = 3
  • \bar{a}.\bar{b} = (4.2) + (2.y) + (0.1) = 8 + 2y
Maka:
\bar{c} = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{b}\mid} \mid \bar{b}\overset{menjadi}{\rightarrow}4 = \mid\frac{8+2y}{3}\mid
12=8+2y
y=2
Tags
lycheetan

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Morbi eu sem ultrices, porttitor mi eu, euismod ante. Maecenas vitae velit dignissim velit rutrum gravida sit amet eget risus. Donec sit amet mollis nisi, nec commodo est.

0 comments:

Post a Comment

Designed with by Way2themes | Distributed by Blogspot Themes

Free Box Rainbow 3 Cursors at www.totallyfreecursors.com